ちょっと検索してみると、どうにもTime Capsuleの電源部分のコンデンサーが壊れやすいようです。
ということは、自分のもこのコンデンサーが壊れたのかな、と思い分解して様子を見てみました。

まずは裏面のラバー部分をヒーターやドライヤーで温めながら剥がしていきます。強力な粘着テープでくっついています。

ラバーを全部剥がすと本体を留めているネジが見えてきます。ネジは10個ぐらいあります。

そのネジを全部外して裏蓋を開けるとこうなっています。
裏蓋についているのはファンです。そして本体右に見える黒い箱が電源ユニットです。

電源ユニットは簡単に外れます。
ここで注意。電源ユニットには高電圧部品があるみたいで、うかつにぺたぺた触ると感電します（笑）
ゴム手袋をつけた方がいいと思います。

これがコンデンサーです。絶縁用のボンドに埋まっていて、それを剥がすのが大変でした。
予想通り、こちらから２つ目の黒と黄色のコンデンサーが破裂して液漏れしています。
このコンデンサーは1500μF、耐圧6.3Vのものです。

秋葉原に行って同じ物を買いに行ったのですが、耐圧10Vのものしかなく、耐圧とかよくわからないのでそれを買いました。

まぁ大は小を兼ねるという事で、6.3Vまで耐えられるものの換えで10Vまで耐えられるものを使っても問題ないんじゃないかなという、テキトーな判断です。(ー∇ー;)

で、破裂したコンデンサーをペンチでとってやって、新しいコンデンサーにつけかえて（←一番大切なところだったのですが、写真を撮り忘れてしまいました；）、元に戻してやります。ちなみにここはハンダ付けが必要です。

まぁ、本来ならここでまた絶縁体の何かを流し込んでやったりするといいんでしょうが、そんなものなかったので、金属部分同士が触れないように少し離して終わり。

逆の手順をたどって、蓋を閉め、電源ケーブルを挿してやると…。なんと普通に動き始めたじゃありませんか！(≧∇≦*)
全く壊れる前のままです。データも無事！
ちなみに最初に剥がしたラバーはむしろ無い方が熱がよく逃げると思ってつけてません。

っていうかこんなテキトーな修理でも直っちゃう物なんですね。
この修理にかかった経費はなんとコンデンサーだけ！300円ぐらいです。
しかもデータも無事そのままです！

無理矢理分解するので、オススメはできませんが、保証切れのTimeCapsuleが壊れてしまった方、さらに、そこに大切なバックアップデータが入っている方は、少し自分で修理する事も選択しにいれてみてはいかがでしょうか？

データは消えませんし、とても安上がりですよ。